Apuntes para todos los estudiantes y cursos

Realimentación positiva primer orden ejemplos

  1. Introducción

En este capítulo explicaremos la segunda etapa de la modelación con Dinámica de Sistemas: formulación, presentándola desde el punto de vista de elementos genéricos que permitirán comprender su representación, terminando el capitulo ejemplificaremos el problema iniciado en temas anteriores.

Los modelos matemáticos, programables en un computador, están enunciados de una manera explícita; el lenguaje matemático que se emplea para la descripción del modelo no deja lugar a la ambigüedad. Un modelo de dinámica de sistemas es más explícito que un modelo mental y, por lo tanto, puede ser expresado sin ambigüedad. Las hipótesis sobre las que se ha montado el modelo, así como las interrelaciones entre los elementos que lo forman, aparecen con toda claridad en el mismo, y son susceptibles de discusión y revisión. Por ello la proyección futura del modelo puede hacerse de forma completamente precisa.

Diagrama Flujo – Nivel (DS o Forrester)


El Diagrama de Flujos, es carácterístico de la Dinámica de Sistemas y es una traducción del diagrama causal a una terminología que facilita la escritura de las ecuaciones. Básicamente consiste en la clasificación de los elementos del sistema.

Nivel o stock;


Un nivel es un símbolo genérico para cualquier cosa que acumula o drena. Los niveles son aquellos elementos que describen en cada instante la situación del modelo, presentan una cierta estabilidad en el tiempo y varían solo en función de otros elementos denominados flujos. Los niveles se representan por un rectángulo.

Flujo


Un flujo es la tasa de cambio de un nivel. Los flujos son elementos que pueden definirse como funciones temporales. Puede decirse que recogen las acciones resultantes de las decisiones tomadas en el sistema, determinando las variaciones de los niveles. Las nubes en el diagrama de flujos son niveles de contenido inagotable.

Convertidor

Un convertidor se usa para tomar datos de entrada y manipular o convertir esa entrada en alguna señal de salida. Estos convertidores son variables auxiliares y constantes o parámetros, y permiten una visualización mejor de los aspectos que condicionan el comportamiento de los flujos. Puede utilizarse un círculo o solo escribir el nombre de la variable.

Conector;


Un conector es una flecha que permite el paso de información o de magnitudes físicas entre convertidores y convertidores, niveles y convertidores, niveles y flujos, y convertidores y flujos.

Estructura matemática de un modelo DS

La estructura matemática de un modelo de dinámica de sistemas es un sistema de ecuaciones diferenciales. Pero en lugar de escribir directamente las ecuaciones diferenciales, se escriben ecuaciones para cada uno de los símbolos vistos anteriormente, es decir para los niveles, los flujos, las variables auxiliares, etc.

 Una variable de estado (o nivel), es decir, una variable que acumula sus valores (matemáticamente representado con una integral) es cambiada por variables que se representan por flujos de material (flujos). Si N es el Nivel, FE y FS los flujos de entrada y de salida respectivamente, se puede escribir la siguiente ecuación:

donde N(t) es el valor del nivel en el instante de tiempo t y N(0) es el valor inicial del nivel. Esa ecuación se puede escribir, de forma aproximada, empleando métodos de integración numérica:

9k=
Esta última forma es la que se emplea comúnmente en Dinámica de Sistemas para definir cualquier nivel en términos de sus flujos. La ecuación de flujo es la siguiente:

Z
donde TN es el flujo normal y M es lo que se denomina multiplicador de flujo normal. Si M(t) = 1 se tiene una situación neutral en la que F(t) = TN * N(t), es decir, el flujo es una fracción constante del nivel.

 El multiplicador M(t) refleja el efecto de otros factores sobre la variable de nivel en cuestión: M(t) = M1[V1(t)] * M2[V2(t)] * … * MK[VK(t)] , en donde cada factor Mi[Vi(t)] es una función no lineal de una variable Vi, la cual puede ser un nivel o una variable auxiliar.

Estructuras genéricas

Las estructuras genéricas son estructuras simples que se presentan en muy diversas situaciones. Los ciclos de realimentación son los elementos estructurales básicos del sistema

Realimentación lineal positiva de primer orden

Uno de los sistemas de realimentación más simple es el ciclo de realimentación positivo. La realimentación positiva ocurre cuando el cambio se propaga a través de un sistema para producir más cambio en la misma dirección. Este es el tipo de realimentación que produce crecimiento.


Diagrama del modelo

La figura muestra la estructura genérica de realimentación positiva de primer orden. En la ecuación del flujo, se multiplica el nivel por la fracción componente o se divide el nivel entre la constante de tiempo. La constante de tiempo es simplemente el reciproco de la fracción componente.

Ecuaciones del modelo

Las ecuaciones para la estructura genérica son

Nivel(t) = Nivel(t-dt) + (flujo)*dt Es el stock o nivel del sistema. Unidad: unidades.

 Flujo = nivel * fracción componente

El flujo es la fracción del nivel que fluye dentro del sistema por unidad de tiempo.

Unidad: unidades/tiempo

Fracción componente = una constante

Es un factor de crecimiento y determina el flujo de entrada al nivel. Es la cantidad de unidades sumadas al nivel por cada unidad ya existente en el nivel en cada ciclo.

Unidad: unidades/unidad/tiempo

 Si en lugar de fracción componente se tiene una constante de tiempo, las ecuaciones tendrían la siguiente variación:

Flujo = nivel / constante de tiempo

Unidad: unidades/tiempo

Constante de Tiempo = una constante

Es el tiempo de ajuste para el nivel. Corresponde al tiempo por cada unidad inicial al componerse en una nueva unidad.

Unidad: tiempo

 Comparando las dos posibles ecuaciones para el flujo, se puede notar que el multiplicador en la ecuación del flujo esta dado por:

 Multiplicador = fracción componente = 1/constante de tiempo

La carácterística del crecimiento exponencial es su tiempo contante de duplicación, es decir, el tiempo que le toma para duplicarse al nivel permanece constante. Para encontrar el tiempo de duplicación del nivel, se necesita la

constante de tiempo del sistema, que se puede obtener directamente si el modelo lo tiene o del reciproco de la fracción componente:

Constante de tiempo = 1 / fracción component

El tiempo de duplicación para el nivel esta dado por:

Tiempo de duplicación = ln 2 * constante de tiempo Tiempo de duplicación = 0.7 * constante de tiempo

Ejemplos del ciclo de realimentación positiva de primer orden Sistema Depósito Bancario – Interés


Interés = Deposito Bancario * Tasa de Interés

Z
Sistema Conocimiento – AprendizajeAprendizaje = Conocimiento / Tiempo para Aprender

Realimentación negativa lineal de primer orden

El decrecimiento exponencial es uno de los comportamientos más comunes de un ciclo de realimentación negativa. Las carácterísticas importantes del decrecimiento exponencial es su comportamiento asintótico y el tiempo de división constante de la curva. El tiempo de división es el tiempo que le toma al nivel reducirse a la mitad. La formula siguiente aproxima al tiempo de división de un nivel usando la constante de tiempo.

En el diagrama el tiempo constante es 3 porque la línea tangente al valor inicial del stock cruza el eje de tiempo en 3 unidades.

Sistema Depósito Bancario – Interés

Z
Interés = Deposito Bancario * Tasa de Interés

Sistema Conocimiento – Aprendizaje

9k=4.4.3.1.1.       Ejemplo (Sistema Fundación premios Nobel)

Cada año la Fundación Premios Nobel distribuye aproximadamente un total de

6.000.000 $us en premios en efectivo a aquellos quienes en el año precedente hayan conferido los más grandes beneficios a la humanidad en las siguientes áreas: química, literatura, medicina, física, economía y paz. Estos premios están financiados por la acumulación de intereses de una cuenta de banco. El siguiente modelo representa este sistema y las ecuaciones para lograr un equilibrio son las siguientes:

Flujo de salida = Flujo de entrada

Remoción de Efectivo = Acumulación de Interés Premios = Fundación * Tasa de Interés

Despejando cuanto debería tener la Fundación Nobel para lograr un equilibrio, obtenemos la siguiente ecuación:

Fundación = Premios / Tasa de Interés Fundación = 6.000.000 $us / 0.1 = 60.000.000 $us

Realimentación negativa con flujos de entrada constante

Se demostrará la aplicación de los siguientes principios de la simulación mental:

 Añadir flujos constantes a un sistema de realimentación negativa desplaza el equilibrio.

Los flujos constantes no cambian las carácterísticas del decremento exponencial producido la realimentación negativa. Por lo tanto el tiempo de división se convierte en una útil herramienta de simulación mental.

 El sistema de realimentación negativa a ser simulado es el drenaje de un fregadero que contiene un flujo entrante producido por una llave de agua. La tasa de drenaje es proporcional al volumen de agua en el fregadero, la fracción de drenaje es 0.1. El agua fluye a una tasa de 30 cm3/s. El modelo para este sistema es el siguiente:


Mentalmente simularemos el comportamiento del sistema, cuando este está en equilibrio:

Paso 1. Calcular el equilibrio

En ausencia de un flujo de entrada, el sistema está en equilibrio cuando el fregadero está vacío. Al sumar un flujo de entrada el volumen en equilibrio se desplaza. Para encontrar cuanto es esta variación, igualamos la suma de flujos de entrada con la suma de flujos de salida:

Entrada de agua = Drenaje de Agua

Entrada de agua = Agua en el fregadero * Fracción de drenaje

Despejando el volumen de agua:

Agua en el fregadero = Entrada de agua / Fracción de Drenaje Agua en el fregadero = 30 / 0.1 = 300 cm3

Paso 2. Determinar el modo de comportamiento

En sistemas de realimentación negativa el nivel tiende a aproximarse al equilibrio asintóticamente ya sea por debajo o por arriba. Para esta simulación intentaremos estimar el comportamiento del sistema cuando el nivel este en 300 cm3, lo que representa equilibrio.

Paso 3. Esquematizar el modo de comportamiento esperado

Paso 1. Calcular el equilibrio

Se conoce de la anterior simulación que el equilibrio esta en 300 cm3 de agua.

Paso 2. Determinar el modo de comportamiento

Para esta simulación el volumen de agua es 500 cm3 mayor que el valor de equilibrio. De manera que el sistema se acerca al equilibrio desde arriba.

Paso3. Esquematizar el comportamiento.

El comportamiento del sistema como un todo puede ser descompuesto en dos partes que pueden ser graficadas separadamente. De los 500 cm3 de agua presentes al inicio 300 cm3 están en equilibrio, la diferencia 200 cm3 está sujeta a drenaje de acuerdo a la ecuación de división de tiempo:

Resumen

UmqPYmqTZmqTbpqbdprHss6nhpqzkpqzlpgECAwEOriginalmente fue dirigido a las ciencias administrativas e ingenieriles, pero gradualmente se ha desarrollado como una herramienta útil en el análisis de sistemas sociales, económicos, físicos, químicos, biológicos y ecológicos.

UmqPYmqTZmqTbpqbdprHss6nhpqzkpqzlpgECAwELa dinámica de sistemas es una metodología usada para entender como los sistemas van cambiando en el tiempo.

UmqPYmqTZmqTbpqbdprHss6nhpqzkpqzlpgECAwEUn modelo de dinámica de sistemas es la representación de la estructura del sistema, que le permite generar escenarios de simulación como una herramienta para tomar decisiones; alterando un sistema podemos examinar cómo responderá a distintas condiciones.

UmqPYmqTZmqTbpqbdprHss6nhpqzkpqzlpgECAwELas etapas en la modelación de sistemas son 4: conceptualización, formulación, prueba e implementación.

UmqPYmqTZmqTbpqbdprHss6nhpqzkpqzlpgECAwEEn conceptualización, el modelador debe determinar el propósito del modelo, sus fronteras, su posible comportamiento y la naturaleza de los mecanismos básicos.

UmqPYmqTZmqTbpqbdprHss6nhpqzkpqzlpgECAwEEl propósito de un modelo normalmente se enmarca para clarificar el conocimiento y entendimiento del sistema, descubrir políticas que mejoraran el comportamiento del sistema, capturar modelos mentales y servir como un medio de comunicación y unificación.

UmqPYmqTZmqTbpqbdprHss6nhpqzkpqzlpgECAwELa frontera del modelo contiene todos los componentes presentes en el modelo final, pues en ella se deberá reunir todos los componentes que sean necesarios para crear

un modelo del sistema, luego, para especificar una frontera del modelo, se deberá separar los componentes iniciales en variables endógenas y variables exógenas.

UmqPYmqTZmqTbpqbdprHss6nhpqzkpqzlpgECAwEEl modo de referencia representa el comportamiento de las variables clave de un sistema sobre el tiempo.

UmqPYmqTZmqTbpqbdprHss6nhpqzkpqzlpgECAwELos mecanismos básicos son los ciclos de realimentación en el modelo y representan el conjunto más pequeño de relaciones causa-efecto reales capaces de generar el modo de referencia, aunque también podría ser una simple historia que explique el comportamiento dinámico del sistema

Términos y conceptos clave

Sistema,        estructura,        dinámico,        comportamiento,                     mecanismos     básicos, conceptualización, propósito, frontera, modo de referencia.

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